Wir führen den Beweis mittels Induktion. Dafür zeigen wir zuerst den \emph{Induktionsanfang} für $n =1$, wobei sofort gilt
\[\sum_{k=1}^{1}k =1=\frac{1(1+1)}{2}\]
\[
\sum_{k=1}^{1}k =1=\frac{1(1+1)}{2}
\]
Unsere \emph{Induktionsvorraussetzung}$V(i)$ ist dabei
\[\sum_{k=1}^{i}i =\frac{i(i+1)}{2}.\]
\[
\sum_{k=1}^{i}i =\frac{i(i+1)}{2}.
\]
Nun gilt es den \emph{Induktionsschritt} zu zeigen, also das $V(i)\implies V(i +1)$ gilt. Wir können also annehmen, dass $V(i)$ gilt, und wollen $V(i +1)$ beweisen.
\[
\sum_{k=1}^{i +1}i =
...
...
@@ -61,8 +65,8 @@ bool quadrat(int n) {
\begin{claim}
Der Algorithmus \texttt{quadrat} terminiert nach einer Laufzeit \calO{n} und gibt \texttt{true} aus, genau dann wenn $n \in\Nat$ eine Quadratzahl ist.
\end{claim}
\begin{proof} Wir zeigen die einzelnen Aussagen für die Korrektheit, Terminierung und Laufzeit separat.
\begin{proof}
Wir zeigen die einzelnen Aussagen für die Korrektheit, Terminierung und Laufzeit separat.
\begin{enumerate}
\item\emph{Korrektheit:}
Wenn $n \in\Nat$ eine Quadratzahl ist, dann muss ein $i \in\{0, \dots{}, n\}$ die Wurzel sein.
...
...
@@ -77,7 +81,7 @@ bool quadrat(int n) {
\end{proof}
\section*{Weitere nützliche Befehle}
Hier eine Liste weiterer Befehle die auf den ersten Abgabeblättern nützlich werden könnten:
Hier eine Liste weiterer Befehle, die auf den ersten Abgabeblättern nützlich werden könnten:
Abbildung~\ref{fig:graph} enthält einen Graphen. Um einfach Abbildungen zu erstellen kann zum Beispiel Tools wie \url{www.draw.io} verwenden oder Zeichnungen mit dem Handy abfotografieren.
Abbildung~\ref{fig:graph} enthält einen Graphen.
Um einfach Abbildungen zu erstellen, kann man beispielsweise Tools wie \url{www.draw.io} verwenden oder Zeichnungen mit dem Handy abfotografieren.
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.75]{images/cfi.png}
\centering
\includegraphics[scale=0.75]{images/cfi.png}
\caption{Ein Graph.}\label{fig:graph}
\end{figure}
\paragraph{Fallunterscheidung.} Die Formel \eqref{eq:fibonacci} beschreibt die Fibonacci Folge.
\paragraph{Fallunterscheidung.}
Die Formel \eqref{eq:fibonacci} beschreibt die Fibonacci Folge.
\begin{equation}\label{eq:fibonacci}
f(n) =
\begin{cases}
...
...
@@ -107,7 +113,8 @@ bool quadrat(int n) {
\end{equation}
\paragraph{Tabellen.}
Tabelle~\ref{tab:tabelle} enthält keine Informationen. Auf \url{www.tablesgenerator.com/} kann man auch über eine GUI Tabellen eingeben und in \LaTeX{}-Tabellen umwandeln lassen.
Tabelle~\ref{tab:tabelle} enthält keine Informationen.
Auf \url{www.tablesgenerator.com/} kann man mit Hilfer einer Oberfläche Tabellen eingeben und in \LaTeX{}-Code umwandeln lassen.
\begin{table}[tbp]
\begin{tabular}{| l | c | r |}
...
...
@@ -122,10 +129,15 @@ bool quadrat(int n) {
\paragraph{Weitere nützliche Links.}
\begin{enumerate}
\item Detexify (\url{detexify.kirelabs.org/}): Versucht von Hand gezeichnete Symbole in \LaTeX{}-Befehle umzuwandeln.
\item Liste von mathematischen Symbolen und Befehlen (\url{en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics}).
\item Liste von Farben (\url{www.namsu.de/Extra/pakete/Xcolor.html}).
\item Falls noch mehr Interesse an \LaTeX{} besteht, empfehlen wir als Lektüre die ``Not So Short Introduction to \LaTeXe'' (\url{http://tug.ctan.org/info/lshort/english/lshort.pdf}). Das ist aber keinesfalls notwendig, um gute Abgaben zu erstellen.
\item
Detexify (\url{detexify.kirelabs.org/}): Versucht von Hand gezeichnete Symbole in \LaTeX{}-Befehle umzuwandeln.
\item
Liste von mathematischen Symbolen und Befehlen (\url{en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics}).
\item
Liste von Farben (\url{www.namsu.de/Extra/pakete/Xcolor.html}).
\item
Falls noch mehr Interesse an \LaTeX{} besteht, empfehlen wir als Lektüre die ``Not So Short Introduction to \LaTeXe'' (\url{http://tug.ctan.org/info/lshort/english/lshort.pdf}).
Das ist aber keinesfalls notwendig, um gute Abgaben zu erstellen.