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Commit 9e47ace5 authored by Schneider, Thomas's avatar Schneider, Thomas
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...@@ -25,9 +25,13 @@ ...@@ -25,9 +25,13 @@
\end{claim} \end{claim}
\begin{proof} \begin{proof}
Wir führen den Beweis mittels Induktion. Dafür zeigen wir zuerst den \emph{Induktionsanfang} für $n = 1$, wobei sofort gilt Wir führen den Beweis mittels Induktion. Dafür zeigen wir zuerst den \emph{Induktionsanfang} für $n = 1$, wobei sofort gilt
\[\sum_{k=1}^{1}k = 1 = \frac{1(1+1)}{2}\] \[
\sum_{k=1}^{1}k = 1 = \frac{1(1+1)}{2}
\]
Unsere \emph{Induktionsvorraussetzung} $V(i)$ ist dabei Unsere \emph{Induktionsvorraussetzung} $V(i)$ ist dabei
\[\sum_{k=1}^{i}i = \frac{i(i+1)}{2}.\] \[
\sum_{k=1}^{i}i = \frac{i(i+1)}{2}.
\]
Nun gilt es den \emph{Induktionsschritt} zu zeigen, also das $V(i) \implies V(i + 1)$ gilt. Wir können also annehmen, dass $V(i)$ gilt, und wollen $V(i + 1)$ beweisen. Nun gilt es den \emph{Induktionsschritt} zu zeigen, also das $V(i) \implies V(i + 1)$ gilt. Wir können also annehmen, dass $V(i)$ gilt, und wollen $V(i + 1)$ beweisen.
\[ \[
\sum_{k=1}^{i + 1}i = \sum_{k=1}^{i + 1}i =
...@@ -61,8 +65,8 @@ bool quadrat(int n) { ...@@ -61,8 +65,8 @@ bool quadrat(int n) {
\begin{claim} \begin{claim}
Der Algorithmus \texttt{quadrat} terminiert nach einer Laufzeit \calO{n} und gibt \texttt{true} aus, genau dann wenn $n \in \Nat$ eine Quadratzahl ist. Der Algorithmus \texttt{quadrat} terminiert nach einer Laufzeit \calO{n} und gibt \texttt{true} aus, genau dann wenn $n \in \Nat$ eine Quadratzahl ist.
\end{claim} \end{claim}
\begin{proof} Wir zeigen die einzelnen Aussagen für die Korrektheit, Terminierung und Laufzeit separat. \begin{proof}
Wir zeigen die einzelnen Aussagen für die Korrektheit, Terminierung und Laufzeit separat.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item \emph{Korrektheit:} \item \emph{Korrektheit:}
Wenn $n \in \Nat$ eine Quadratzahl ist, dann muss ein $i \in \{0, \dots{}, n\}$ die Wurzel sein. Wenn $n \in \Nat$ eine Quadratzahl ist, dann muss ein $i \in \{0, \dots{}, n\}$ die Wurzel sein.
...@@ -77,7 +81,7 @@ bool quadrat(int n) { ...@@ -77,7 +81,7 @@ bool quadrat(int n) {
\end{proof} \end{proof}
\section*{Weitere nützliche Befehle} \section*{Weitere nützliche Befehle}
Hier eine Liste weiterer Befehle die auf den ersten Abgabeblättern nützlich werden könnten: Hier eine Liste weiterer Befehle, die auf den ersten Abgabeblättern nützlich werden könnten:
\paragraph{Wichtige Mengen.} \paragraph{Wichtige Mengen.}
$\Nat, \Int, \Rat, \Rel$ $\Nat, \Int, \Rat, \Rel$
...@@ -89,15 +93,17 @@ bool quadrat(int n) { ...@@ -89,15 +93,17 @@ bool quadrat(int n) {
$\sigma, \theta, \omega \dots, \Sigma, \Theta, \Omega, \dots$ $\sigma, \theta, \omega \dots, \Sigma, \Theta, \Omega, \dots$
\paragraph{Abbildungen.} \paragraph{Abbildungen.}
Abbildung~\ref{fig:graph} enthält einen Graphen. Um einfach Abbildungen zu erstellen kann zum Beispiel Tools wie \url{www.draw.io} verwenden oder Zeichnungen mit dem Handy abfotografieren. Abbildung~\ref{fig:graph} enthält einen Graphen.
Um einfach Abbildungen zu erstellen, kann man beispielsweise Tools wie \url{www.draw.io} verwenden oder Zeichnungen mit dem Handy abfotografieren.
\begin{figure} \begin{figure}
\includegraphics[scale=0.75]{images/cfi.png}
\centering \centering
\includegraphics[scale=0.75]{images/cfi.png}
\caption{Ein Graph.} \label{fig:graph} \caption{Ein Graph.} \label{fig:graph}
\end{figure} \end{figure}
\paragraph{Fallunterscheidung.} Die Formel \eqref{eq:fibonacci} beschreibt die Fibonacci Folge. \paragraph{Fallunterscheidung.}
Die Formel \eqref{eq:fibonacci} beschreibt die Fibonacci Folge.
\begin{equation}\label{eq:fibonacci} \begin{equation}\label{eq:fibonacci}
f(n) = f(n) =
\begin{cases} \begin{cases}
...@@ -107,7 +113,8 @@ bool quadrat(int n) { ...@@ -107,7 +113,8 @@ bool quadrat(int n) {
\end{equation} \end{equation}
\paragraph{Tabellen.} \paragraph{Tabellen.}
Tabelle~\ref{tab:tabelle} enthält keine Informationen. Auf \url{www.tablesgenerator.com/} kann man auch über eine GUI Tabellen eingeben und in \LaTeX{}-Tabellen umwandeln lassen. Tabelle~\ref{tab:tabelle} enthält keine Informationen.
Auf \url{www.tablesgenerator.com/} kann man mit Hilfer einer Oberfläche Tabellen eingeben und in \LaTeX{}-Code umwandeln lassen.
\begin{table}[tbp] \begin{table}[tbp]
\begin{tabular}{| l | c | r |} \begin{tabular}{| l | c | r |}
...@@ -122,10 +129,15 @@ bool quadrat(int n) { ...@@ -122,10 +129,15 @@ bool quadrat(int n) {
\paragraph{Weitere nützliche Links.} \paragraph{Weitere nützliche Links.}
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Detexify (\url{detexify.kirelabs.org/}): Versucht von Hand gezeichnete Symbole in \LaTeX{}-Befehle umzuwandeln. \item
\item Liste von mathematischen Symbolen und Befehlen (\url{en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics}). Detexify (\url{detexify.kirelabs.org/}): Versucht von Hand gezeichnete Symbole in \LaTeX{}-Befehle umzuwandeln.
\item Liste von Farben (\url{www.namsu.de/Extra/pakete/Xcolor.html}). \item
\item Falls noch mehr Interesse an \LaTeX{} besteht, empfehlen wir als Lektüre die ``Not So Short Introduction to \LaTeXe'' (\url{http://tug.ctan.org/info/lshort/english/lshort.pdf}). Das ist aber keinesfalls notwendig, um gute Abgaben zu erstellen. Liste von mathematischen Symbolen und Befehlen (\url{en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics}).
\item
Liste von Farben (\url{www.namsu.de/Extra/pakete/Xcolor.html}).
\item
Falls noch mehr Interesse an \LaTeX{} besteht, empfehlen wir als Lektüre die ``Not So Short Introduction to \LaTeXe'' (\url{http://tug.ctan.org/info/lshort/english/lshort.pdf}).
Das ist aber keinesfalls notwendig, um gute Abgaben zu erstellen.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{document} \end{document}
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