diff --git a/main.tex b/main.tex index 3c0bc81ad1e4a78ab4eb9513cdecbb0403e97795..0712e5dd825f51447d11a5d8935ea0a4c4556fd5 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -25,9 +25,13 @@ \end{claim} \begin{proof} Wir führen den Beweis mittels Induktion. Dafür zeigen wir zuerst den \emph{Induktionsanfang} für $n = 1$, wobei sofort gilt - \[\sum_{k=1}^{1}k = 1 = \frac{1(1+1)}{2}\] + \[ + \sum_{k=1}^{1}k = 1 = \frac{1(1+1)}{2} + \] Unsere \emph{Induktionsvorraussetzung} $V(i)$ ist dabei - \[\sum_{k=1}^{i}i = \frac{i(i+1)}{2}.\] + \[ + \sum_{k=1}^{i}i = \frac{i(i+1)}{2}. + \] Nun gilt es den \emph{Induktionsschritt} zu zeigen, also das $V(i) \implies V(i + 1)$ gilt. Wir können also annehmen, dass $V(i)$ gilt, und wollen $V(i + 1)$ beweisen. \[ \sum_{k=1}^{i + 1}i = @@ -61,8 +65,8 @@ bool quadrat(int n) { \begin{claim} Der Algorithmus \texttt{quadrat} terminiert nach einer Laufzeit \calO{n} und gibt \texttt{true} aus, genau dann wenn $n \in \Nat$ eine Quadratzahl ist. \end{claim} - \begin{proof} Wir zeigen die einzelnen Aussagen für die Korrektheit, Terminierung und Laufzeit separat. - + \begin{proof} + Wir zeigen die einzelnen Aussagen für die Korrektheit, Terminierung und Laufzeit separat. \begin{enumerate} \item \emph{Korrektheit:} Wenn $n \in \Nat$ eine Quadratzahl ist, dann muss ein $i \in \{0, \dots{}, n\}$ die Wurzel sein. @@ -77,7 +81,7 @@ bool quadrat(int n) { \end{proof} \section*{Weitere nützliche Befehle} - Hier eine Liste weiterer Befehle die auf den ersten Abgabeblättern nützlich werden könnten: + Hier eine Liste weiterer Befehle, die auf den ersten Abgabeblättern nützlich werden könnten: \paragraph{Wichtige Mengen.} $\Nat, \Int, \Rat, \Rel$ @@ -89,15 +93,17 @@ bool quadrat(int n) { $\sigma, \theta, \omega \dots, \Sigma, \Theta, \Omega, \dots$ \paragraph{Abbildungen.} - Abbildung~\ref{fig:graph} enthält einen Graphen. Um einfach Abbildungen zu erstellen kann zum Beispiel Tools wie \url{www.draw.io} verwenden oder Zeichnungen mit dem Handy abfotografieren. + Abbildung~\ref{fig:graph} enthält einen Graphen. + Um einfach Abbildungen zu erstellen, kann man beispielsweise Tools wie \url{www.draw.io} verwenden oder Zeichnungen mit dem Handy abfotografieren. \begin{figure} - \includegraphics[scale=0.75]{images/cfi.png} \centering + \includegraphics[scale=0.75]{images/cfi.png} \caption{Ein Graph.} \label{fig:graph} \end{figure} - \paragraph{Fallunterscheidung.} Die Formel \eqref{eq:fibonacci} beschreibt die Fibonacci Folge. + \paragraph{Fallunterscheidung.} + Die Formel \eqref{eq:fibonacci} beschreibt die Fibonacci Folge. \begin{equation}\label{eq:fibonacci} f(n) = \begin{cases} @@ -107,7 +113,8 @@ bool quadrat(int n) { \end{equation} \paragraph{Tabellen.} - Tabelle~\ref{tab:tabelle} enthält keine Informationen. Auf \url{www.tablesgenerator.com/} kann man auch über eine GUI Tabellen eingeben und in \LaTeX{}-Tabellen umwandeln lassen. + Tabelle~\ref{tab:tabelle} enthält keine Informationen. + Auf \url{www.tablesgenerator.com/} kann man mit Hilfer einer Oberfläche Tabellen eingeben und in \LaTeX{}-Code umwandeln lassen. \begin{table}[tbp] \begin{tabular}{| l | c | r |} @@ -122,10 +129,15 @@ bool quadrat(int n) { \paragraph{Weitere nützliche Links.} \begin{enumerate} - \item Detexify (\url{detexify.kirelabs.org/}): Versucht von Hand gezeichnete Symbole in \LaTeX{}-Befehle umzuwandeln. - \item Liste von mathematischen Symbolen und Befehlen (\url{en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics}). - \item Liste von Farben (\url{www.namsu.de/Extra/pakete/Xcolor.html}). - \item Falls noch mehr Interesse an \LaTeX{} besteht, empfehlen wir als Lektüre die ``Not So Short Introduction to \LaTeXe'' (\url{http://tug.ctan.org/info/lshort/english/lshort.pdf}). Das ist aber keinesfalls notwendig, um gute Abgaben zu erstellen. + \item + Detexify (\url{detexify.kirelabs.org/}): Versucht von Hand gezeichnete Symbole in \LaTeX{}-Befehle umzuwandeln. + \item + Liste von mathematischen Symbolen und Befehlen (\url{en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics}). + \item + Liste von Farben (\url{www.namsu.de/Extra/pakete/Xcolor.html}). + \item + Falls noch mehr Interesse an \LaTeX{} besteht, empfehlen wir als Lektüre die ``Not So Short Introduction to \LaTeXe'' (\url{http://tug.ctan.org/info/lshort/english/lshort.pdf}). + Das ist aber keinesfalls notwendig, um gute Abgaben zu erstellen. \end{enumerate} \end{document}